Thermodynamic and Mechanical Study/fr

1. Périmètre et méthode

Cette étude décrit le cycle thermodynamique complet de la machine Dada sous forme symbolique, en mode réfrigération ainsi qu’en mode moteur. Le modèle couple une cinématique imposée des deux pistons, des volumes de gaz bien mélangés, des échangeurs thermiques 0D, des clapets passifs et une fermeture hydraulique compressible générique.

L'origine du cycle est fixée au volume maximal du grand cylindre, avec :

$t=0,\theta (0)=0,V_L(0)=V_{L,max}.$

Les quatre volumes de gaz sont :

• $S$ : petit cylindre ;
• $L$ : grand cylindre ;
• $H_i$ : échangeur thermique "Heat-in", situé sur le chemin hydraulique $S\to L$ et qui apporte de la chaleur au gaz ;
• $H_o$ : échangeur thermique "Heat-out", situé sur le chemin hydraulique $L\to S$ et qui enlève de la chaleur au gaz.

La topologie hydraulique est fixe :

$S\to H_i\to L,$

$L\to H_o\to S.$

Les clapets passifs permettent donc toujours :

$H_i\to L,H_o\to S.$

La fonction physique de chaque échangeur thermique est indépendante du mode de fonctionnement. Ce qui change entre les cycles récepteur et moteur est le réservoir thermique externe connecté à chaque échangeur. Le cycle comprend quatre phases hydrauliques/thermodynamiques :

• Phase I — clapets fermés, nominalement adiabatique : compression du côté $L+H_o$ ;
• Phase II — échange thermique, nominalement isotherme : transfert $L\to H_o\to S$, avec extraction de chaleur du gaz ;
• Phase III — clapets fermés, nominalement adiabatique : expansion du côté $S+H_i$ ;
• Phase IV — échange thermique, nominalement isotherme : transfert $S\to H_i\to L$, avec de la chaleur ajoutée au gaz.

Ces définitions de phases décrivent la topologie physique permanente de la machine. Le réservoir externe associé à chaque échangeur de chaleur dépend du mode de fonctionnement. Les limites de phase et leurs positions angulaires sont déterminées indépendamment dans chaque mode de fonctionnement par les événements réels liés aux clapets anti-retour.

Les qualificatifs nominalement adiabatique et nominalement isotherme décrivent l'objectif du cycle. Ils ne constituent pas des contraintes thermodynamiques exactes : les températures sont calculées par les bilans, les échangeurs restent couplés à leurs réservoirs, et les zones de faible déplacement des pistons ne sont pas supposées parfaitement immobiles.

1.1 Hypothèses de premier niveau

Le modèle repose sur les hypothèses suivantes :

• gaz monophasique, parfait et calorifiquement parfait ;
• propriétés constantes $R$, $C_p$, $C_v$, $\gamma$ avec $R=C_p-C_v$ et $\gamma =C_p/C_v$ ;
• chaque volume de gaz est uniforme et bien mélangé ;
• énergie cinétique et énergie potentielle du gaz négligées dans les bilans 0D ;
• volumes des échangeurs fixes ;
• cinématique des pistons imposée ;
• pas de frottement mécanique dans le modèle thermodynamique ;
• échanges thermiques représentés par une conductance globale $UA$ ;
• clapets passifs commandés par la différence de pression.

2. Notations et conventions

2.1 Géométrie et cinématique

Pour $k\in \{S,L\}$ :

$V_{k,min}>0,V_{k,max}>V_{k,min}.$

Le volume balayé est :

$V_{k,\mathrm{s}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}}=V_{k,max}-V_{k,min}.$

Les volumes thermodynamiques imposés par la mécanique sont :

$V_S=V_S(t),V_L=V_L(t),$

avec leurs dérivées signées :

${\dot{V}}_S=\frac{d{V}_S}{dt},{\dot{V}}_L=\frac{d{V}_L}{dt}.$

La vitesse angulaire de la manivelle est signée :

$\theta (t)=\omega t,{\dot{V}}_k=\omega \frac{d{V}_k}{d\theta },k\in \{S,L\}.$

Le sens récepteur en réfrigération est défini comme positif :

$\omega >0.$

Le fonctionnement moteur utilise la direction de manivelle opposée :

$\omega <0.$

L’origine géométrique est identique dans les deux modes :

$t=0,\theta (0)=0,V_L(0)=V_{L,max}.$

Lorsque seule la valeur absolue de la vitesse volumique est utile :

${\nu }_{V,k}=|{\dot{V}}_k|.$

Une zone quasi immobile désigne un intervalle où le déplacement ou $|\dot{V}|$ reste faible par rapport aux phases de transfert. Cette zone correspond au « plateau » de l'optimisation cinématique, sans supposer $\dot{V}=0$ exactement.

2.2 Fraction de fermeture cinématique

Pour décrire la fermeture normalisée d'un cylindre :

${\Lambda }_k(t)=\frac{V_{k,max}-V_k(t)}{V_{k,max}-V_{k,min}},k\in \{S,L\}.$

Ainsi ${\Lambda }_k=0$ correspond au volume maximal et ${\Lambda }_k=1$ au volume minimal. Les valeurs ${\Lambda }_L^{\ast }$ et ${\Lambda }_S^{\ast }$ sont des cibles cinématiques nominales aux transitions. La valeur réellement atteinte lors d'un événement de clapet est :

${\Lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\Lambda (t_{\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}).$

Les transitions physiques restent déterminées par les pressions ; ${\Lambda }^{\ast }$ n'est donc pas une condition d'ouverture imposée.

2.3 Variables thermodynamiques

Pour chaque volume $j\in \{S,L,C,H\}$ :

$m_j,U_j,T_j,P_j,V_j.$

Les indices $i$ et $o$ dénotent respectivement le gaz contenu dans $H_i$ et $H_o$.

Le vecteur d'état complet est choisi sous la forme :

$𝐗=(m_S,U_S,m_L,U_L,m_i,U_i,m_o,U_o).$

Les températures et pressions en sont déduites :

$T_j=\frac{U_j}{m_j{C}_v},P_j=\frac{m_{j}R{T}_j}{V_j}.$

Les volumes $V_S(t)$ et $V_L(t)$ sont imposés par la cinématique et ne sont pas des variables d'état thermodynamiques indépendantes. Les volumes $V_i$ et $V_o$ sont constants.

2.4 Convention de signe énergétique

La chaleur est positive lorsqu'elle est reçue par le gaz. Le travail est positif lorsque le gaz fournit du travail :

$\dot{W}=P\dot{V}.$

Par définition des deux échangeurs thermiques physiques :

$Q_i>0,Q_o<0$

dans les conditions de fonctionnement prévues, tant pour le système de réfrigération que pour le moteur.

Le travail net du cycle distingue les deux modes :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}<0$

pour le mode récepteur en réfrigération, alors que :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}>0$

pour le mode moteur.

3. Fermeture thermique et domaine de validité

3.1 Échange avec les réservoirs thermiques

Pour l’échangeur "heat-in" :

${\dot{Q}}_i=(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i).$

Dans les conditions de fonctionnement prévues :

$T_i<T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}\Rightarrow {\dot{Q}}_i>0.$

Pour l’échangeur "heat-out" :

${\dot{Q}}_o=(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o).$

Dans les conditions de fonctionnement prévues :

$T_o>T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}\Rightarrow {\dot{Q}}_o<0.$

Les températures des réservoirs dépendent du mode de fonctionnement

En mode réfrigération :

$T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}},T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}.$

En mode moteur :

$T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}},T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}.$

Ainsi les équations de transfert thermique sont identiques dans les deux modes.

Une phase nominalement isotherme ne signifie donc pas $T_{HX}=T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ : un écart de température fini est nécessaire pour transférer une puissance thermique finie lorsque $UA$ est fini.

Un indicateur de qualité d'isothermie peut être défini sur une phase donnée par :

${\epsilon }_T=\frac{T_{max}-T_{min}}{T_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}.$

3.2 Domaine de validité thermophysique

Le modèle de base suppose :

$PV=mRT,Z=1,$

$C_p=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},C_v=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},\gamma =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

La validité doit être contrôlée a posteriori sur tout le cycle, notamment par :

$|Z-1|\ll 1,$

et par une faible variation des propriétés thermophysiques, par exemple :

${\epsilon }_{C_p}=\frac{C_{p,max}-C_{p,min}}{C_{p,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\ll 1.$

Le fluide doit rester monophasique gazeux et suffisamment éloigné de toute condensation ou transition de phase dans l'ensemble du domaine $(P,T)$ parcouru.

Si ces critères deviennent insuffisants, une extension pourra employer $Z(P,T)$, $C_p(T)$, $C_v(T)$ ou une équation d'état réelle sans modifier l'architecture générale des bilans de masse et d'énergie.

4. Formulation réduite d'une paire quasi égalisée en pression

Lorsqu'un cylindre et son échangeur sont reliés par une liaison interne très peu résistive, on peut utiliser l'approximation :

$P_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}\approx P_{HX}=P_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}.$

Elle est acceptable si :

${\epsilon }_P=\frac{|\Delta P_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}|}{P_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}}\ll 1,\Delta P_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=P_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}-P_{HX}.$

Un faible nombre de Mach interne constitue un contrôle complémentaire :

$M{a}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{|u_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}|}{a}\ll 1,$

mais il ne suffit pas, à lui seul, à garantir l'égalisation des pressions.

4.1 Cas fermé de la paire

Pour une paire fermée, avec $V_{HX}$ fixe et $V=V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}$ :

$\frac{dP}{dt}=\frac{(\gamma -1)(UA{)}_{HX}(T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_{HX})-\gamma P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}}.$

Lorsque $(UA{)}_{HX}=0$ :

$P(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}{)}^{\gamma }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

4.2 Débit interne de redistribution

On définit positif le débit interne cylindre → échangeur. Posons :

$N=V_{HX}\dot{P}+(\gamma -1)(UA{)}_{HX}(T_{HX}-T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}).$

Le débit transporte l'enthalpie de l'état amont :

${\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\{\begin{array}{cc}\frac{N}{\gamma R{T}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}},& N\ge 0(\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}\to HX),\\ \frac{N}{\gamma R{T}_{HX}},& N<0(HX\to \mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}).\end{array}$

La température de l'échangeur évolue selon :

${\dot{T}}_{HX}=\frac{T_{HX}}{P}\dot{P}-\frac{R{T}_{HX}^2}{P{V}_{HX}}{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

4.3 Paire réceptrice ouverte

Lors d'une phase active, le débit externe entre physiquement dans le cylindre récepteur, et non directement dans son échangeur associé. Si ${\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}>0$ entre dans le cylindre à la température $T_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ :

$\dot{P}=\frac{\gamma R{T}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+(\gamma -1)(UA{)}_{HX}(T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_{HX})-\gamma P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}}.$

Les masses vérifient :

${\dot{m}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},{\dot{m}}_{HX}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},$

et donc :

${\dot{m}}_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$

Le cas fermé est obtenu immédiatement avec ${\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=0$.

5. Fermeture hydraulique

5.1 Formulation générique

Toute liaison hydraulique est décrite par une loi générique :

$\dot{m}=\Phi (P_u,P_d,T_u,𝒢,ℱ)$

$u$ et $d$ désignent respectivement l'amont (upstream) et l'aval (downstream). L'enthalpie transportée est celle de l'amont :

${\dot{H}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\dot{m}{C}_p{T}_u.$

Pour une liaison bidirectionnelle, l'état amont est déterminé par le sens réel du gradient de pression. Pour un clapet, le débit inverse est interdit.

5.2 Fermeture de premier niveau par orifice compressible

Une première approximation consiste à employer une aire hydraulique effective :

$(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}},$

qui représente la facilité globale de passage du gaz dans la liaison réelle.

Avec :

$r=\frac{P_d}{P_u},r_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}={\left(\frac{2}{\gamma +1}\right)}^{\gamma /(\gamma -1)},$

le débit non étranglé, pour $r>r_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}$, est :

$\dot{m}=(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}{P}_u\sqrt{\frac{2\gamma }{R{T}_u(\gamma -1)}(r^{2/\gamma }-r^{(\gamma +1)/\gamma })}.$

Pour $r\le r_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}$ :

$\dot{m}=(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}{P}_u\sqrt{\frac{\gamma }{R{T}_u}}{\left(\frac{2}{\gamma +1}\right)}^{\frac{\gamma +1}{2(\gamma -1)}}.$

Cette fermeture n'est pas l'essence du modèle : elle pourra être remplacée par une loi plus fidèle aux pertes de charge d'un échangeur réel, d'une conduite ou d'un clapet.

6. Cycle thermodynamique complet

6.1 Phase I — clapets fermés, nominalement adiabatique : compression côté L

Les deux clapets sont fermés. Les paires $L+H_o$ et $S+H_i$ sont fermées. Le côté $L+H_o$ est nominalement comprimé ; le mouvement du petit piston reste celui fourni par la cinématique réelle.

Pour $L+H_o$ :

${\dot{P}}_{Lo}=\frac{(\gamma -1)(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o)-\gamma P_{Lo}{\dot{V}}_L}{V_L+V_o}.$

Pour $S+H_i$ :

${\dot{P}}_{Si}=\frac{(\gamma -1)(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i)-\gamma P_{Si}{\dot{V}}_S}{V_S+V_i}.$

Les équations de redistribution interne et de température du §4 s'appliquent aux deux paires.

La transition vers la Phase II survient lorsque le clapet $H_o\to S$ satisfait sa condition d'ouverture.

6.2 Phase II — échange thermique, nominalement isotherme : L → Ho → S

Le gaz quitte $L$, traverse l'échangeur chaud $H_o$, y rejette de la chaleur, franchit le clapet $H_o\to S$, puis entre dans le cylindre récepteur $S$. La paire $S+H_i$ reste quasi égalisée si le critère ${\epsilon }_P\ll 1$ est satisfait.

6.2.1 Cylindre donneur L

Le bilan fondamental est :

$\frac{d(m_L{C}_v{T}_L)}{dt}=-P_L{\dot{V}}_L-{\dot{m}}_{L,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_p{T}_L.$

La cinématique est conçue pour maintenir un débit sortant du cylindre donneur. Dans ce cas, la solution analytique est :

$\frac{T_L}{T_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}={\left[\frac{m_L}{m_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\frac{V_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}{V_L}\right]}^{\gamma -1}$

et :

$P_L=P_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}{\left[\frac{m_L}{m_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\frac{V_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}{V_L}\right]}^{\gamma }.$

On obtient également :

$\frac{T_L}{T_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}={\left(\frac{P_L}{P_{L,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma },$

et l'entropie spécifique du gaz restant vérifie $ds=0$ sous ces hypothèses. Si un débit rétrograde apparaît malgré la conception cinématique, la solution analytique n'est plus applicable et il faut utiliser le bilan ouvert complet en $(m_L,U_L)$.

6.2.2 Échangeur Heat-out Ho

Conservation de la masse :

${\dot{m}}_o={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}.$

Bilan énergétique fondamental :

$\frac{d(m_o{C}_v{T}_o)}{dt}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{C}_p{T}_L-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_p{T}_o+(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o).$

Sous forme développée :

${\dot{T}}_o=\frac{{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(C_p{T}_L-C_v{T}_o)-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}R{T}_o+(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o)}{C_v{m}_o}.$

Les débits sont déterminés par les lois hydrauliques :

${\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\Phi }_{\mathrm{H}\mathrm{X},\mathrm{o}}(P_L,P_o,T_L,\dots ),$

${\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\Phi }_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e},\mathrm{o}}(P_o,P_{Si},T_o,\dots ).$

6.2.3 Paire réceptrice S+Hi

Le débit issu de $H_o$ entre dans S. La pression de la paire vérifie :

${\dot{P}}_{Si}=\frac{\gamma R{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{T}_o+(\gamma -1)(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i)-\gamma P_{Si}{\dot{V}}_S}{V_S+V_i}.$

Les équations de redistribution interne du §4 restent inchangées : le débit externe agit sur l'échangeur $H_i$ indirectement par l'évolution de la pression de paire.

La transition vers la Phase III est l'événement de fermeture du clapet $H_o\to S$.

6.3 Phase III — clapets fermés, nominalement adiabatique : expansion du côté S

Les deux clapets sont fermés. La paire $S+H_i$ se détend nominalement ; la paire $L+H_o$ reste également fermée. Aucun piston n'est supposé rigoureusement immobile.

Pour $S+H_i$ :

${\dot{P}}_{Si}=\frac{(\gamma -1)(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i)-\gamma P_{Si}{\dot{V}}_S}{V_S+V_i}.$

Pour $L+H_o$ :

${\dot{P}}_{Lo}=\frac{(\gamma -1)(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o)-\gamma P_{Lo}{\dot{V}}_L}{V_L+V_o}.$

La transition vers la Phase IV survient lorsque le clapet $H_i\to L$ satisfait sa condition d'ouverture.

6.4 Phase IV — échange thermique, nominalement isotherme : S → Hi → L

Le gaz quitte $S$, traverse l'échangeur froid $H_i$, y reçoit de la chaleur du réservoir froid, franchit le clapet $H_i\to L$, puis entre dans le cylindre récepteur $L$. La paire $L+H_o$ reste quasi égalisée si le critère ${\epsilon }_P\ll 1$ est satisfait.

6.4.1 Cylindre donneur S

Le bilan fondamental est :

$\frac{d(m_S{C}_v{T}_S)}{dt}=-P_S{\dot{V}}_S-{\dot{m}}_{S,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_p{T}_S.$

Sous débit sortant garanti par la conception cinématique :

$\frac{T_S}{T_{S,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}={\left[\frac{m_S}{m_{S,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\frac{V_{S,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}{V_S}\right]}^{\gamma -1}$

et :

$P_S=P_{S,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}{\left[\frac{m_S}{m_{S,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\frac{V_{S,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}{V_S}\right]}^{\gamma }.$

Un débit rétrograde impose de revenir au bilan ouvert complet en $(m_S,U_S)$.

6.4.2 Échangeur Heat-in Hi

${\dot{m}}_i={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}.$

Le bilan énergétique fondamental est :

$\frac{d(m_i{C}_v{T}_i)}{dt}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{C}_p{T}_S-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_p{T}_i+(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i).$

Sous forme développée :

${\dot{T}}_i=\frac{{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(C_p{T}_S-C_v{T}_i)-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}R{T}_i+(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i)}{C_v{m}_i}.$

Les débits sont déterminés par :

${\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\Phi }_{\mathrm{H}\mathrm{X},\mathrm{i}}(P_S,P_i,T_S,\dots ),$

${\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\Phi }_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e},\mathrm{i}}(P_i,P_{Lo},T_i,\dots ).$

6.4.3 Paire réceptrice L+Ho

Le débit issu de $H_i$ entre dans L. La pression de la paire vérifie :

${\dot{P}}_{Lo}=\frac{\gamma R{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{T}_i+(\gamma -1)(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o)-\gamma P_{Lo}{\dot{V}}_L}{V_L+V_o}.$

La fermeture du clapet $H_i\to L$ ramène à la Phase I. La fermeture géométrique des pistons ne suffit pas à garantir la fermeture thermodynamique du cycle.

6.5 Fonctionnement moteur

Un deuxième ensemble d’équations d’équilibre thermodynamique n’est pas nécessaire pour le cycle moteur.

La topologie hydraulique physique reste :

$L\to H_o\to S,S\to H_i\to L.$

La direction des clapets reste :

$H_o\to S,H_i\to L.$

Le fonctionnement moteur est obtenu par :

1. inverser le sens de la manivelle,
2. échanger les réservoirs thermiques externes connectés à $H_i$ et $H_o$.

ainsi :

$\omega <0,$

avec la même origine du cycle :

$V_L(0)=V_{L,max}.$

L’affectation des réservoirs thermiques devient :

$T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}},T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}.$

Ainsi l’échangeur Heat-in absorbe de la chaleur de la source chaude :

$Q_i>0,$

pendant que l’échangeur Heat-out rejette de la chaleur à la source froide :

$Q_o<0.$

Les variations de pression, débits massiques, évènements de clapets, et les états thermodynamiques périodiques doivent être recalculés avec la cinématique inversée.

Le cycle moteur est obtenu quand :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}>0.$

7. Transitions physiques des clapets

Pour un clapet orienté de l'amont $u$ vers l'aval $d$ :

$P_u-P_d\ge \Delta P_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}\Rightarrow \text{opening},$

$P_u-P_d\le \Delta P_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}\Rightarrow \text{closing},$

avec, en présence d'hystérésis :

$\Delta P_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}\le \Delta P_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}.$

Une ouverture ou une fermeture modifie la topologie hydraulique et donc les équations actives ; elle ne provoque aucun saut instantané de l'état thermodynamique. Pour chaque volume :

$m_j^{+}=m_j^{-},U_j^{+}=U_j^{-},V_j^{+}=V_j^{-}.$

Pour le gaz parfait :

$T_j^{+}=T_j^{-},P_j^{+}=P_j^{-}.$

Il n'y a donc pas d'égalisation instantanée des pressions à l'ouverture d'un clapet.

Les valeurs ${\Lambda }^{\ast }$ servent de cibles de conception cinématique ; les valeurs réellement observées lors des transitions sont ${\Lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\Lambda (t_{\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}})$.

Les deux clapets passifs ont une orientation fixe :

$H_o\to S,H_i\to L.$

Leurs conditions d’ouverture et de fermeture sont identiques dans les deux modes de fonctionnement. Seule l’historique des pressions change en raison de la cinématique inversée de la manivelle en fonctionnement moteur.

8. Travail, chaleur et performance

Le travail instantané du gaz sur les deux pistons est calculé pendant toutes les phases :

$\dot{W}=P_S^{\star }{\dot{V}}_S+P_L^{\star }{\dot{V}}_L.$

$P_S^{\star }$ et $P_L^{\star }$ désignent la pression thermodynamique effectivement appliquée au gaz dans chaque cylindre selon la topologie de la phase : pression de paire lorsque le cylindre appartient à une paire quasi égalisée, pression propre lorsqu'il est donneur isolé hydrauliquement.

Le travail net du cycle est :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\int }_0^{\tau }(P_S^{\star }{\dot{V}}_S+P_L^{\star }{\dot{V}}_L)dt.$

Les chaleurs échangées sont :

$Q_i={\int }_0^{\tau }(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i)dt,$

$Q_o={\int }_0^{\tau }(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o)dt.$

En régime périodique :

$\Delta U_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}=0,$

et le premier principe donne :

$Q_i+Q_o=W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}.$

Le COP frigorifique est :

$CO{P}_c=\frac{Q_i}{-W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}.$

Le COP en pompe à chaleur est :

$CO{P}_h=\frac{-Q_o}{-W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}=CO{P}_c+1.$

Les signes $Q_i>0$, $Q_o<0$ et $W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}<0$ constituent des contrôles du régime frigorifique recherché.

Pour le cycle moteur :

$Q_i>0,Q_o<0,W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}>0.$

Le rendement thermique est :

${\eta }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}{Q_i}=1+\frac{Q_o}{Q_i}.$

La puissance thermodynamique moyenne du moteur est :

$\bar{\dot{W}}=\frac{W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}{\tau }.$

La force thermodynamique exercée par le gaz sur une face de piston peut être écrite $F_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s}}=PS$. La force mécanique nette, les inerties et les frottements relèvent du dimensionnement mécanique ultérieur.

9. Charge de gaz et régime périodique

La quantité totale de gaz enfermée est un paramètre physique :

$M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=m_S+m_L+m_i+m_o=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

Elle peut être imposée directement ou définie expérimentalement par une pression et une température de charge. La configuration de référence choisie est celle de $t=0$, avec le grand cylindre au volume maximal. Si tous les volumes communiquent et sont en équilibre uniforme pendant le remplissage :

$M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{P_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}[V_S(0)+V_{L,max}+V_i+V_o]}{R{T}_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}}.$

$P_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}$ et $T_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}$ définissent la quantité de gaz chargée ; ils ne constituent pas une condition que le cycle périodique doit retrouver.

Le régime périodique établi est une solution du système telle que, entre deux passages successifs au volume maximal du grand cylindre avec la même direction cinématique :

$𝐗(t+\tau )=𝐗(t).$

La périodicité géométrique seule :

$V_k(t+\tau )=V_k(t),k\in \{S,L\}.$

ne suffit pas à garantir la périodicité thermodynamique.

L'état numérique utilisé pour lancer un calcul peut être approximatif ; il ne doit pas être confondu avec un paramètre physique de la machine. Le futur solveur pourra rechercher le point fixe périodique par cycles successifs, méthode de tir ou méthode de Newton.

10. Paramètres, données de conception et résultats

10.1 Données imposées

• mode de fonctionnement ;
• températures des réservoirs $T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$ et $T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}$ ;
• vitesses angulaire signée de la manivelle $\omega$.
• fluide de travail et propriétés de référence $R$, $C_p$, $C_v$, $\gamma$ ;
• charge totale $M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}$, ou équivalent $(P_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}},T_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}})$ dans la configuration de remplissage définie au §9 ;
• cinématique $V_S(t)$, $V_L(t)$.

10.2 Paramètres de conception

• $V_{S,min}$, $V_{S,max}$, $V_{L,min}$, $V_{L,max}$ ;
• $V_i$, $V_o$ ;
• $(UA{)}_i$, $(UA{)}_o$ ;
• paramètres hydrauliques des échangeurs, conduites et clapets, représentés au premier niveau par $(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ ;
• seuils $\Delta P_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}$, $\Delta P_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}$ ;
• cibles cinématiques ${\Lambda }_L^{\ast }$, ${\Lambda }_S^{\ast }$.

10.3 Variables et résultats calculés

• $m_j,U_j,T_j,P_j,j\in \{S,L,i,o\}$ ;
• débits massiques internes et externes ;
• ${\dot{Q}}_i$, ${\dot{Q}}_o$, $Q_i$, $Q_o$ ;
• $W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}$, $CO{P}_c$, $CO{P}_h$ ;
• extrema de pression, température et débit ;
• événements réels des clapets et ${\Lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}$ ;
• qualité d'isothermie ${\epsilon }_T$ ;
• critères de validité ${\epsilon }_P$, $Ma$, $Z$ et variation des propriétés.

11. Contrôles globaux de conservation

11.1 Conservation de la masse

Le solveur doit satisfaire :

$\frac{d{M}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}}{dt}=0.$

Un résidu numérique utile est :

${\epsilon }_M(t)=M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)-M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(0).$

11.2 Conservation globale de l'énergie

Quelle que soit la phase, les flux massiques et enthalpiques internes doivent s'annuler lorsque les bilans de tous les volumes sont additionnés. Le bilan global doit se réduire à :

$\frac{d{U}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}}{dt}={\dot{Q}}_i+{\dot{Q}}_o-P_S^{\star }{\dot{V}}_S-P_L^{\star }{\dot{V}}_L.$

Un résidu énergétique cumulatif peut être défini par :

${\epsilon }_E(t)=U_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)-U_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(0)-Q_i(0,t)-Q_o(0,t)+W(0,t).$

Sur un cycle périodique :

$Q_i+Q_o=W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}.$

Le solveur doit maintenir ${\epsilon }_M$ et ${\epsilon }_E$ proches de zéro à la précision numérique attendue.

---

Annexe A — Dérivations symboliques et contrôles validés

A.1 Équation de pression d'une paire fermée

Pour une paire cylindre + échangeur à pression quasi uniforme :

$U=\frac{P(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX})}{\gamma -1}.$

Le premier principe donne :

$\frac{dU}{dt}=\dot{Q}-P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}},$

avec :

$\dot{Q}=(UA{)}_{HX}(T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_{HX}).$

En dérivant $U$ :

$\frac{1}{\gamma -1}[(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX})\dot{P}+P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}]=\dot{Q}-P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}.$

D'où :

$\dot{P}=\frac{(\gamma -1)\dot{Q}-\gamma P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}}.$

Si $\dot{Q}=0$ :

$\frac{\dot{P}}{P}=-\gamma \frac{\dot{V}}{V},$

puis :

$P{V}^{\gamma }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

A.2 Débit interne de la paire

Pour l'échangeur seul, volume fixe :

$U_{HX}=\frac{P{V}_{HX}}{\gamma -1}.$

Donc :

$\frac{V_{HX}}{\gamma -1}\dot{P}=(UA{)}_{HX}(T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_{HX})+{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}{C}_p{T}_{\mathrm{u}\mathrm{p}}.$

En utilisant $C_p=\gamma R/(\gamma -1)$ :

$V_{HX}\dot{P}+(\gamma -1)(UA{)}_{HX}(T_{HX}-T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}})=\gamma R{T}_{\mathrm{u}\mathrm{p}}{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

On retrouve la définition du numérateur $N$ et la sélection de la température amont selon le signe du débit.

A.3 Évolution de la température de l'échangeur dans une paire

Pour un volume fixe :

$m_{HX}=\frac{P{V}_{HX}}{R{T}_{HX}}.$

En dérivant :

$\frac{{\dot{m}}_{HX}}{m_{HX}}=\frac{\dot{P}}{P}-\frac{{\dot{T}}_{HX}}{T_{HX}}.$

Avec ${\dot{m}}_{HX}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ :

${\dot{T}}_{HX}=\frac{T_{HX}}{P}\dot{P}-\frac{R{T}_{HX}^2}{P{V}_{HX}}{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

Cette relation découle uniquement de la conservation de masse et de l'équation d'état ; elle est valable pour les deux sens de débit.

A.4 Paire réceptrice ouverte

Pour une paire recevant ${\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ dans son cylindre :

$\frac{dU}{dt}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{C}_p{T}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+\dot{Q}-P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}.$

Avec $U=P(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX})/(\gamma -1)$ :

$\dot{P}=\frac{\gamma R{T}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+(\gamma -1)\dot{Q}-\gamma P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}}.$

Le bilan de masse local :

${\dot{m}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},$

${\dot{m}}_{HX}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},$

redonne immédiatement :

${\dot{m}}_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$

A.5 Solution analytique du cylindre donneur adiabatique

Pour un cylindre adiabatique, bien mélangé, avec débit uniquement sortant :

$\frac{d(m{C}_{v}T)}{dt}=-P\dot{V}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_{p}T,$

et :

$\dot{m}=-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}.$

En développant :

$C_{v}m\dot{T}+C_{v}T\dot{m}=-P\dot{V}+C_{p}T\dot{m},$

soit :

$C_{v}m\dot{T}=-P\dot{V}+RT\dot{m}.$

Avec $P=mRT/V$ et $R/C_v=\gamma -1$ :

$\frac{dT}{T}=(\gamma -1)(\frac{dm}{m}-\frac{dV}{V}).$

Après intégration :

$\frac{T}{T_0}={\left[\frac{m}{m_0}\frac{V_0}{V}\right]}^{\gamma -1}.$

Puis, avec $PV=mRT$ :

$P=P_0{\left[\frac{m}{m_0}\frac{V_0}{V}\right]}^{\gamma }.$

et :

$\frac{T}{T_0}={\left(\frac{P}{P_0}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma }.$

Sous ces hypothèses, l'entropie spécifique du gaz restant est constante : $ds=0$. L'entropie totale du contenu du cylindre n'est pas constante puisque sa masse varie.

A.6 Échangeur actif : bilan développé

Bilan fondamental :

$\frac{d(m{C}_{v}T)}{dt}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{C}_p{T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_{p}T+\dot{Q}.$

En développant le membre de gauche et en utilisant :

$\dot{m}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}},$

on obtient :

$\dot{T}=\frac{{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(C_p{T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-C_{v}T)-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}RT+\dot{Q}}{C_{v}m}.$

Contrôles limites :

• sans débit, l'équation redonne la relaxation thermique d'un volume fermé ;
• à débit stationnaire égal entrant/sortant, elle redonne $m{C}_v\dot{T}=\dot{m}{C}_p(T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-T)+\dot{Q}$ ;
• si $T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=T$ et ${\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$, la contribution nette du débit à $\dot{T}$ s'annule.

A.7 Test global de masse en phase active

Pour la Phase II :

${\dot{m}}_L=-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}},$

${\dot{m}}_o={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}},$

${\dot{m}}_{Si}={\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}.$

En sommant :

${\dot{M}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=0.$

La Phase IV donne exactement le même résultat par symétrie.

A.8 Test global d'énergie en phase active

Pour la Phase II :

${\dot{U}}_L=-P_L{\dot{V}}_L-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{h}_L,$

${\dot{U}}_o={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{h}_L-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{h}_o+{\dot{Q}}_o,$

${\dot{U}}_{Si}={\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{h}_o+{\dot{Q}}_i-P_{Si}{\dot{V}}_S.$

Les flux enthalpiques internes s'annulent exactement :

$-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{h}_L+{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{h}_L=0,$

$-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{h}_o+{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{h}_o=0.$

Il reste :

${\dot{U}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}={\dot{Q}}_i+{\dot{Q}}_o-P_L{\dot{V}}_L-P_{Si}{\dot{V}}_S.$

La Phase IV fournit la relation symétrique. Dans les phases fermées, la même structure résulte directement de la somme des bilans des deux paires. D'où, pour toute phase :

${\dot{U}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}={\dot{Q}}_i+{\dot{Q}}_o-P_S^{\star }{\dot{V}}_S-P_L^{\star }{\dot{V}}_L.$

Intégrée sur un cycle périodique, cette relation redonne :

$Q_i+Q_o=W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}.$

A.9 Continuité aux transitions

À l'instant d'un événement de clapet, aucune masse ni énergie finie ne peut être transférée en un temps nul. Les variables conservées et la géométrie sont donc continues :

$j\in \{S,L,i,o\}$

$m_j^{+}=m_j^{-},U_j^{+}=U_j^{-},V_j^{+}=V_j^{-}.$

Avec le gaz parfait :

$T_j=\frac{U_j}{m_j{C}_v},P_j=\frac{m_{j}R{T}_j}{V_j},$

ce qui implique :

$T_j^{+}=T_j^{-},P_j^{+}=P_j^{-}.$

L'événement ne crée qu'un changement de topologie hydraulique et de système d'équations actif.