Thermodynamic and Mechanical Study/fr

1. Périmètre et méthode

Cette étude décrit le cycle thermodynamique complet de la machine Dada sous forme symbolique, en mode réfrigération ainsi qu’en mode moteur. Le modèle couple une cinématique imposée des deux pistons, des volumes de gaz bien mélangés, des échangeurs thermiques 0D, des clapets passifs et une fermeture hydraulique compressible générique.

L'origine du cycle est fixée au volume maximal du grand cylindre, avec :

$t=0,\theta (0)=0,V_L(0)=V_{L,max}.$

Les quatre volumes de gaz sont :

• $S$ : petit cylindre ;
• $L$ : grand cylindre ;
• $H_i$ : échangeur thermique "Heat-in", situé sur le chemin hydraulique $S\to L$ et qui apporte de la chaleur au gaz ;
• $H_o$ : échangeur thermique "Heat-out", situé sur le chemin hydraulique $L\to S$ et qui enlève de la chaleur au gaz.

Les deux branches hydrauliques ont des sens de circulation fixes :

$S\to H_i\to L,$

$L\to H_o\to S.$

Chaque branche comporte un clapet passif, qui peut être installé d’un côté ou de l'autre de son échangeur de chaleur. Les deux configurations possibles pour la branche d'arrivée de chaleur sont :

$S\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_i\to H_i\to L,$

ou :

$S\to H_i\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_i\to L.$

De même, la branche heat-out peut être agencée ainsi :

$L\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_o\to H_o\to S,$

ou :

$L\to H_o\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_o\to S.$

Dans tous les cas, le clapet impose le même sens de circulation général dans sa branche. Sa position par rapport à l'échangeur de chaleur est un paramètre de conception car, lorsque le clapet est fermé, il détermine quel cylindre reste hydrauliquement relié au volume de l'échangeur.

La fonction physique de chaque échangeur de chaleur est indépendante du mode de fonctionnement. Ce qui change entre le fonctionnement en mode frigorifique et le fonctionnement en mode moteur, c'est le réservoir thermique externe auquel chaque échangeur est relié.

Le cycle est décrit par quatre phases hydrauliques/thermodynamiques : compression, transfert à travers $H_o$ depuis $L$ à $S$ , expansion et transfert à travers $H_i$ depuis $S$ à $L$ En mode réfrigération, à partir de l'origine de référence utilisée dans cette étude, ces phases se succèdent dans cet ordre. Le fonctionnement du moteur inverse le sens de rotation de la manivelle. La chronologie thermodynamique résultante doit être recalculée en conservant l'orientation des clapets et en inversant l'affectation des réservoirs ; il est détaillé au paragraphe 6.6.

Les limites des phases décrivent la cinématique et le régime thermodynamique dominant. Elles ne correspondent pas aux événements de clapets. L'ouverture et la fermeture des clapets sont déterminées indépendamment par la différence de pression locale à travers chaque clapet ; les transferts de masse et de chaleur peuvent donc se poursuivre pendant la compression ou la détente, et un événement de clapet peut se produire au sein d'une phase cinématique.

Les deux phases de transfert sont prévues quasi-isobares : un cylindre se vide tandis que l’autre se remplit, et la variation de pression doit rester faible comparé à celle observée lors de la compression et de la détente. La compression et la détente peuvent impliquer le mouvement simultané des deux pistons dans le même sens volumétrique, de sorte que les deux cylindres peuvent contribuer simultanément à la phase de variation de pression.

Pour comparer avec un cycle thermodynamique idéal, la compression et la détente peuvent être idéalisées comme transformations adiabatiques ; si elles sont en plus réversibles, elles sont isentropiques. Il ne s’agit que d’une référence, la machine réelle n’impose ni transfert de chaleur nul, ni transfert de masse nul, ni clapets fermés pendant la compression et la détente, et aucune construction permettant d’assurer des phases parfaitement adiabatiques n’est supposée ici.

1.1 Hypothèses de premier niveau

Le modèle repose sur les hypothèses suivantes :

• gaz monophasique, parfait et calorifiquement parfait ;
• propriétés constantes $R$, $C_p$, $C_v$, $\gamma$ avec $R=C_p-C_v$ et $\gamma =C_p/C_v$ ;
• chaque volume de gaz est uniforme et bien mélangé ;
• énergie cinétique et énergie potentielle du gaz négligées dans les bilans 0D ;
• volumes des échangeurs fixes ;
• cinématique des pistons imposée ;
• pas de frottement mécanique dans le modèle thermodynamique ;
• échanges thermiques représentés par une conductance globale $UA$ ;
• clapets passifs commandés par la différence de pression.

2. Notations et conventions

2.1 Géométrie et cinématique

Pour $k\in \{S,L\}$ :

$V_{k,min}>0,V_{k,max}>V_{k,min}.$

Le volume balayé est :

$V_{k,\mathrm{s}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}}=V_{k,max}-V_{k,min}.$

Les volumes thermodynamiques imposés par la mécanique sont :

$V_S=V_S(t),V_L=V_L(t),$

avec leurs dérivées signées :

${\dot{V}}_S=\frac{d{V}_S}{dt},{\dot{V}}_L=\frac{d{V}_L}{dt}.$

La vitesse angulaire de la manivelle est signée :

$\theta (t)=\omega t,{\dot{V}}_k=\omega \frac{d{V}_k}{d\theta },k\in \{S,L\}.$

Le sens récepteur en réfrigération est défini comme positif :

$\omega >0.$

Le fonctionnement moteur utilise la direction de manivelle opposée :

$\omega <0.$

L’origine géométrique est identique dans les deux modes :

$t=0,\theta (0)=0,V_L(0)=V_{L,max}.$

Lorsque seule la valeur absolue de la vitesse volumique est utile :

${\nu }_{V,k}=|{\dot{V}}_k|.$

2.2 Fraction de fermeture cinématique

Pour décrire la fermeture normalisée d'un cylindre :

${\Lambda }_k(t)=\frac{V_{k,max}-V_k(t)}{V_{k,max}-V_{k,min}},k\in \{S,L\}.$

Ainsi ${\Lambda }_k=0$ correspond au volume maximal et ${\Lambda }_k=1$ au volume minimal. Les valeurs ${\Lambda }_L^{\ast }$ et ${\Lambda }_S^{\ast }$ sont des cibles cinématiques nominales aux transitions. La valeur réellement atteinte lors d'un événement de clapet est :

${\Lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\Lambda (t_{\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}).$

Les évènements de clapets sont déterminés par les pressions locales à travers les clapets et sont indépendants des transitions de phases cinématiques ; ${\Lambda }^{\ast }$ n'est donc pas une condition d'ouverture imposée.

2.3 Variables thermodynamiques

Pour chaque volume $j\in \{S,L,C,H\}$ :

$m_j,U_j,T_j,P_j,V_j.$

Les indices $i$ et $o$ dénotent respectivement le gaz contenu dans $H_i$ et $H_o$.

Le vecteur d'état complet est choisi sous la forme :

$𝐗=(m_S,U_S,m_L,U_L,m_i,U_i,m_o,U_o).$

Les températures et pressions en sont déduites :

$T_j=\frac{U_j}{m_j{C}_v},P_j=\frac{m_{j}R{T}_j}{V_j}.$

Les volumes $V_S(t)$ et $V_L(t)$ sont imposés par la cinématique et ne sont pas des variables d'état thermodynamiques indépendantes. Les volumes $V_i$ et $V_o$ sont constants.

2.4 Convention de signe énergétique

La chaleur est positive lorsqu'elle est reçue par le gaz. Le travail est positif lorsque le gaz fournit du travail :

$\dot{W}=P\dot{V}.$

Par définition des deux échangeurs thermiques physiques :

$Q_i>0,Q_o<0$

dans les conditions de fonctionnement prévues, tant pour le système de réfrigération que pour le moteur.

Le travail net du cycle distingue les deux modes :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}<0$

pour le mode récepteur en réfrigération, alors que :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}>0$

pour le mode moteur.

3. Fermeture thermique et domaine de validité

3.1 Échange avec les réservoirs thermiques

Pour l’échangeur "heat-in" :

${\dot{Q}}_i=(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i).$

Dans les conditions de fonctionnement prévues :

$T_i<T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}\Rightarrow {\dot{Q}}_i>0.$

Pour l’échangeur "heat-out" :

${\dot{Q}}_o=(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o).$

Dans les conditions de fonctionnement prévues :

$T_o>T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}\Rightarrow {\dot{Q}}_o<0.$

Les températures des réservoirs dépendent du mode de fonctionnement

En mode réfrigération :

$T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}},T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}.$

En mode moteur :

$T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}},T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}.$

Ainsi les équations de transfert thermique sont identiques dans les deux modes.

3.2 Domaine de validité thermophysique

Le modèle de base suppose :

$PV=mRT,Z=1,$

$C_p=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},C_v=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},\gamma =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

La validité doit être contrôlée a posteriori sur tout le cycle, notamment par :

$|Z-1|\ll 1,$

et par une faible variation des propriétés thermophysiques, par exemple :

${\epsilon }_{C_p}=\frac{C_{p,max}-C_{p,min}}{C_{p,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\ll 1.$

Le fluide doit rester monophasique gazeux et suffisamment éloigné de toute condensation ou transition de phase dans l'ensemble du domaine $(P,T)$ parcouru.

Si ces critères deviennent insuffisants, une extension pourra employer $Z(P,T)$, $C_p(T)$, $C_v(T)$ ou une équation d'état réelle sans modifier l'architecture générale des bilans de masse et d'énergie.

4. Formulations réduites pour les volumes connectés quasi-égalisés en pression.

Le modèle complet traite les quatre volumes de gaz indépendamment. Cependant, dans certaines conditions de fonctionnement, un ensemble de volumes reliés par une résistance hydraulique suffisamment faible peut rester proche d'une pression commune. Un tel ensemble peut alors être traité par une formulation analytique simplifiée.

Notons $𝒞$ tout ensemble connecté de volumes de gaz tel que :

$P_j\approx P_{𝒞},j\in 𝒞.$

La composition de $𝒞$ est déterminéé par la connectivité hydraulique réelle et par la position et l'état des clapets.

Un critère utile d'égalisation de la pression est :

${\epsilon }_{P,𝒞}=\underset{(a,b)\in 𝒞}{max}\frac{|P_a-P_b|}{P_{𝒞}}\ll 1.$

Un faible nombre de Mach interne constitue un contrôle complémentaire :

$M{a}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{|u_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}|}{a}\ll 1,$

mais il ne suffit pas, à lui seul, à garantir l'égalisation des pressions.

4.1 Équation de pression pour un ensemble connecté

Définissons le volume total :

$V_{𝒞}=\sum _{j\in 𝒞}{V}_j.$

Seuls les volumes des cylindres varient :

${\dot{V}}_{𝒞}=\sum _{k\in 𝒞\cap \{S,L\}}{\dot{V}}_k.$

Pour un gaz parfait calorifiquement parfait à la pression commune :

$U_{𝒞}=\sum _{j\in 𝒞}{m}_j{C}_v{T}_j=\frac{P_{𝒞}{V}_{𝒞}}{\gamma -1}.$

Chaleur totale reçue par le gaz dans l'ensemble :

${\dot{Q}}_{𝒞}=\sum _{j\in 𝒞}{\dot{Q}}_j.$

La masse traversant la frontière de l'ensemble transporte l'enthalpie depuis son état initial. On définit ainsi le flux net d'enthalpie externe entrant dans l'ensemble :

${\dot{H}}_{𝒞}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\sum _{\mathrm{i}\mathrm{n}}\dot{m}{C}_p{T}_u-\sum _{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\dot{m}{C}_p{T}_u.$

La première loi pour l'ensemble connecté complet s’écrit alors :

$\frac{d{U}_{𝒞}}{dt}={\dot{Q}}_{𝒞}+{\dot{H}}_{𝒞}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}-P_{𝒞}{\dot{V}}_{𝒞}.$

Et donc :

${\dot{P}}_{𝒞}=\frac{(\gamma -1)({\dot{Q}}_{𝒞}+{\dot{H}}_{𝒞}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}})-\gamma P_{𝒞}{\dot{V}}_{𝒞}}{V_{𝒞}}.$

La masse totale de l'ensemble satisfait la condition suivante :

${\dot{M}}_{𝒞}=\sum _{\mathrm{i}\mathrm{n}}\dot{m}-\sum _{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\dot{m}.$

Les transferts internes de masse et d'enthalpie entre les membres de $𝒞$ s’annulent sur ces bilans globaux.

4.2 Ensemble fermé et connecté

Si aucune masse ne franchit la limite de $𝒞$ :

${\dot{H}}_{𝒞}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=0,{\dot{M}}_{𝒞}=0.$

L'équation de pression devient :

${\dot{P}}_{𝒞}=\frac{(\gamma -1){\dot{Q}}_{𝒞}-\gamma P_{𝒞}{\dot{V}}_{𝒞}}{V_{𝒞}}.$

Si l'ensemble est également adiabatique :

${\dot{Q}}_{𝒞}=0,$

Alors :

$P_{𝒞}{V}_{𝒞}^{\gamma }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

C’est un cas limite analytique. Une phase de compression ou de détente de la machine complète n'exige pas que l'ensemble connecté correspondant soit fermé ou adiabatique.

4.3 Échangeur thermique à volume fixe dans un ensemble à pression équilibrée

Pour un échangeur thermique $H_j$ de volume fixe $V_j$ appartenant à $𝒞$ :

$m_j=\frac{P_{𝒞}{V}_j}{R{T}_j}.$

La dérivation donne :

$\frac{{\dot{m}}_j}{m_j}=\frac{{\dot{P}}_{𝒞}}{P_{𝒞}}-\frac{{\dot{T}}_j}{T_j},$

D'où :

${\dot{T}}_j=\frac{T_j}{P_{𝒞}}{\dot{P}}_{𝒞}-\frac{R{T}_j^2}{P_{𝒞}{V}_j}{\dot{m}}_j.$

Le débit massique de l'échangeur ${\dot{m}}_j$ est la somme algébrique des débits réels à travers toutes les liaisons qui y sont connectées. Cette relation est indépendante de la position du clapet, en amont ou en aval de l'échangeur.

Son bilan énergétique peut s'écrire de manière équivalente :

$\frac{V_j}{\gamma -1}{\dot{P}}_{𝒞}={\dot{Q}}_j+\sum _{\mathrm{i}\mathrm{n}}\dot{m}{C}_p{T}_u-\sum _{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\dot{m}{C}_p{T}_j.$

Ces équations déterminent la distribution locale de la masse et l'évolution de la température une fois les débits hydrauliques connus.

4.4 Cas particulier à deux volumes cylindre-échangeur

Dans le cas particulier d'un cylindre et d'un échangeur thermique connectés à pression quasi uniforme, sans flux entrant ou sortant directement de l'échangeur, définissons le débit massique interne du cylindre vers l'échangeur comme positif.

Soit :

$N=V_{HX}\dot{P}+(\gamma -1)(UA{)}_{HX}(T_{HX}-T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}).$

Le débit interne est :

${\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\{\begin{array}{cc}\frac{N}{\gamma R{T}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}},& N\ge 0(\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}\to HX),\\ \frac{N}{\gamma R{T}_{HX}},& N<0(HX\to \mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}).\end{array}$

La température de l'échangeur thermique répond alors à :

${\dot{T}}_{HX}=\frac{T_{HX}}{P}\dot{P}-\frac{R{T}_{HX}^2}{P{V}_{HX}}{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

Cette simplification ne doit pas être utilisée lorsqu'un flux externe entre ou sort directement de l'échangeur ; dans ce cas, les bilans généraux des §4.1 et §4.3 s'appliquent.

4.5 Cas particuliers de flux externe unique

Si un ensemble connecté à pression quasi-égale reçoit un seul flux externe ${\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}>0$ à température amont $T_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ :

${\dot{P}}_{𝒞}=\frac{\gamma R{T}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+(\gamma -1){\dot{Q}}_{𝒞}-\gamma P_{𝒞}{\dot{V}}_{𝒞}}{V_{𝒞}},$

Avec :

${\dot{M}}_{𝒞}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$

Si à l’inverse l'ensemble fournit un seul flux de sortie externe ${\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}>0$ à partir d'un volume limite à la température $T_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$ :

${\dot{P}}_{𝒞}=\frac{-\gamma R{T}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+(\gamma -1){\dot{Q}}_{𝒞}-\gamma P_{𝒞}{\dot{V}}_{𝒞}}{V_{𝒞}},$

Avec :

${\dot{M}}_{𝒞}=-{\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$

Le lieu où le flux externe traverse la frontière de l'ensemble connecté modifie les masses et températures locales, mais pas l'équation de pressions cumulées une fois que l'ensemble $𝒞$, le flux d'enthalpie aux limites, chaleur totale et débits volumiques sont spécifiés.

5. Fermeture hydraulique

5.1 Formulation générique

Toute liaison hydraulique est décrite par une loi générique :

$\dot{m}=\Phi (P_u,P_d,T_u,𝒢,ℱ)$

$u$ et $d$ désignent respectivement l'amont (upstream) et l'aval (downstream). L'enthalpie transportée est celle de l'amont :

${\dot{H}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\dot{m}{C}_p{T}_u.$

Pour une liaison bidirectionnelle, l'état amont est déterminé par le sens réel du gradient de pression. Pour un clapet, le débit inverse est interdit. Sur chacune des deux branches hydrauliques, le clapet peut être placé de part et d'autre de l'échangeur de chaleur ; la loi hydraulique doit donc prendre en compte les pressions immédiatement adjacentes à la position du clapet.

5.2 Fermeture de premier niveau par orifice compressible

Une première approximation consiste à employer une aire hydraulique effective :

$(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}},$

qui représente la facilité globale de passage du gaz dans la liaison réelle.

Avec :

$r=\frac{P_d}{P_u},r_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}={\left(\frac{2}{\gamma +1}\right)}^{\gamma /(\gamma -1)},$

le débit non étranglé, pour $r>r_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}$, est :

$\dot{m}=(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}{P}_u\sqrt{\frac{2\gamma }{R{T}_u(\gamma -1)}(r^{2/\gamma }-r^{(\gamma +1)/\gamma })}.$

Pour $r\le r_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}$ :

$\dot{m}=(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}{P}_u\sqrt{\frac{\gamma }{R{T}_u}}{\left(\frac{2}{\gamma +1}\right)}^{\frac{\gamma +1}{2(\gamma -1)}}.$

Cette fermeture n'est pas l'essence du modèle : elle pourra être remplacée par une loi plus fidèle aux pertes de charge d'un échangeur réel, d'une conduite ou d'un clapet.

6. Cycle thermodynamique complet

Le cycle est décrit par quatre régimes cinématiques et thermodynamiques successifs : compression, transfert à travers $H_o$ , expansion et transfert à travers $H_i$. Ces phases décrivent l'évolution dominante de la machine ; elles ne sont pas définies par l'état des clapets. L'ouverture et la fermeture des clapets restent déterminées indépendamment par les différences de pression instantanées et peuvent se produire au sein d'une même phase plutôt qu'exactement à ses limites.

La numérotation ci-dessous suit le sens de réfrigération $\omega >0$. Le fonctionnement moteur utilise la même machine physique avec un sens de rotation inversé et est décrit au §6.6.

6.1 Justification thermodynamique des quatre phases

6.1.1 Compression et expansion

Compression and expansion are primarily pressure-changing phases. In the intended kinematics, both cylinder volumes may decrease simultaneously during compression and increase simultaneously during expansion.

The instantaneous work delivered by the gas is:

$\dot{W}=P_S{\dot{V}}_S+P_L{\dot{V}}_L.$

When the two cylinder pressures are of the same order, both piston contributions therefore add during a simultaneous expansion and both contribute to the work required during a simultaneous compression. This allows the swept volumes of both cylinders to participate in the pressure-changing parts of the cycle.

In an ideal reversible reference cycle, compression and expansion may be considered adiabatic and reversible. This is not imposed on the real machine. The heat exchangers remain thermally coupled to the gas, mass redistribution may continue, and neither check valve is required to be closed during the whole compression or expansion phase.

6.1.2 Exchange phases

During an exchange phase, gas is transferred from one cylinder to the other through one of the heat exchangers. Hydraulic resistance requires a finite pressure difference to produce a finite mass flow. This pressure difference is intrinsically irreversible.

For the hydraulic-loss contribution idealized locally as an adiabatic, isenthalpic throttling process of a calorically perfect ideal gas:

$h_u=h_d\Rightarrow T_u=T_d,$

and therefore:

$\Delta s_{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{d}}=R\ln \left(\frac{P_u}{P_d}\right)>0\text{for}{P}_u>P_d.$

The reversible limit is consequently:

$P_u-P_d\to 0.$

The exchange phases therefore tend ideally toward quasi-pressure-equalized operation. A finite real machine retains a finite pressure difference because a finite flow must cross the hydraulic resistances.

Pressure equalization between communicating volumes at a given instant does not, by itself, imply that their common pressure remains constant throughout the exchange. Let $𝒞$ denote a closed set of communicating gas volumes that are approximately at a common pressure $P$. For an ideal gas:

$M_{𝒞}=\frac{P}{R}\sum _{j\in 𝒞}\frac{V_j}{T_j},$

and therefore:

$P=\frac{M_{𝒞}R}{\sum _{j\in 𝒞}{V}_j/T_j}.$

At constant mass, an exactly isobaric evolution requires:

$\frac{d}{dt}\left(\sum _{j\in 𝒞}\frac{V_j}{T_j}\right)=0.$

Thus the piston motions and the temperature evolution must compensate each other. Equal cylinder-volume changes are neither required nor generally expected.

The same condition can be expressed through the energy balance. For a quasi-pressure-equalized set:

$U_{𝒞}=\frac{P{V}_{𝒞}}{\gamma -1},V_{𝒞}=\sum _{j\in 𝒞}{V}_j.$

Its first-law balance gives:

$V_{𝒞}\dot{P}=(\gamma -1){\dot{Q}}_{𝒞}-\gamma P{\dot{V}}_{𝒞}.$

An approximately isobaric exchange therefore satisfies:

$\gamma P{\dot{V}}_{𝒞}\approx (\gamma -1){\dot{Q}}_{𝒞}.$

The volume evolution imposed by the pistons can consequently compensate the thermal expansion or contraction produced by heat transfer, allowing substantial mass transfer while the common pressure remains nearly constant.

A useful first-order cylinder-sizing relation follows from the same condition. Over a sufficiently small part of an isobaric exchange, if the donor and receiver temperatures may be treated as locally constant and the temperature-storage terms of the fixed exchanger volumes are secondary, then:

$\frac{d{V}_r}{T_r}\approx -\frac{d{V}_d}{T_d},$

hence:

$\frac{d{V}_r}{-d{V}_d}\approx \frac{T_r}{T_d}.$

The hotter side therefore requires a larger volume change for the same transferred gas mass at the same pressure. When the exchange uses comparable fractions of the available cylinder strokes and the gas temperatures remain close to characteristic working temperatures $T_h$ and $T_c$, this gives the first-order geometric scaling:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> \frac{V_{\mathrm{swept},h}} {V_{\mathrm{swept},c}} \sim \frac{T_h}{T_c} . }

Temperatures must be expressed in kelvin. This relation is a sizing guide, not an exact design constraint: exchanger hold-up, clearance volumes, temperature evolution during the exchange, finite pressure losses, and the compression and expansion phases can all shift the optimum. When these effects are significant, the complete condition involving $\sum V_j/T_j$ must be used instead.

These relations explain why a low-loss exchange naturally tends toward both small pressure differences along the hydraulic path and, with suitable piston kinematics, a nearly constant pressure throughout the exchange. Exact isobaricity is not imposed as a thermodynamic constraint.

6.1.3 Balance equations valid throughout the cycle

The four control volumes remain $S$, $H_i$, $L$, and $H_o$. Define the signed mass flow rates:

${\dot{m}}_{Si}:S\to H_i,{\dot{m}}_{iL}:H_i\to L,$

${\dot{m}}_{Lo}:L\to H_o,{\dot{m}}_{oS}:H_o\to S.$

The positive directions correspond to the permanent circulation directions of the two branches:

$S\to H_i\to L,L\to H_o\to S.$

Each branch contains one passive check valve. Its position relative to the heat exchanger is a design choice:

$S\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_i\to H_i\to L\text{or}S\to H_i\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_i\to L,$

$L\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_o\to H_o\to S\text{or}L\to H_o\to {\mathrm{C}\mathrm{V}}_o\to S.$

The check valve constrains the link on which it is installed; the other link may be bidirectional according to its hydraulic law.

Let ${\dot{H}}_{ab}$ denote the signed enthalpy transport from volume $a$ toward volume $b$. For a calorically perfect gas:

${\dot{H}}_{ab}=\{\begin{array}{cc}{\dot{m}}_{ab}{C}_p{T}_a,& {\dot{m}}_{ab}\ge 0,\\ {\dot{m}}_{ab}{C}_p{T}_b,& {\dot{m}}_{ab}<0.\end{array}$

The mass balances are then:

${\dot{m}}_S={\dot{m}}_{oS}-{\dot{m}}_{Si},$

${\dot{m}}_i={\dot{m}}_{Si}-{\dot{m}}_{iL},$

${\dot{m}}_L={\dot{m}}_{iL}-{\dot{m}}_{Lo},$

${\dot{m}}_o={\dot{m}}_{Lo}-{\dot{m}}_{oS}.$

The corresponding energy balances are:

${\dot{U}}_S={\dot{H}}_{oS}-{\dot{H}}_{Si}-P_S{\dot{V}}_S,$

${\dot{U}}_i={\dot{H}}_{Si}-{\dot{H}}_{iL}+{\dot{Q}}_i,$

${\dot{U}}_L={\dot{H}}_{iL}-{\dot{H}}_{Lo}-P_L{\dot{V}}_L,$

${\dot{U}}_o={\dot{H}}_{Lo}-{\dot{H}}_{oS}+{\dot{Q}}_o.$

These equations are valid during all four phases. The phase determines the prescribed piston motion and the dominant thermodynamic process; the hydraulic laws and pressure differences determine the actual flow rates and check-valve states.

6.2 Phase I — compression

During compression, the two cylinder volumes may decrease simultaneously:

${\dot{V}}_S<0,{\dot{V}}_L<0$

over the principal part of the phase.

The pressure rises from the lower exchange-pressure region toward the higher one. Both pistons may contribute to the compression work.

No closed-pair topology is imposed. A check valve may remain open during part of the compression, and gas may continue to move through the hydraulic network. In particular, a cylinder approaching its minimum volume may transfer its remaining gas toward the other cylinder. Heat transfer through $H_i$ and $H_o$ also remains active.

The actual evolution is therefore calculated from the complete balances of §6.1.3. Adiabatic compression is only the reversible reference limit described in §6.1.1.

The end of the compression phase is defined by the prescribed kinematic law, not by a check-valve event.

6.3 Phase II — exchange through Ho: L → Ho → S

The dominant circulation is:

$L\to H_o\to S.$

The gas leaves the large-cylinder side, passes through the heat-out branch, and reaches the small-cylinder side. The passive check valve ${\mathrm{C}\mathrm{V}}_o$ may be located either before or after $H_o$; in both cases it enforces the same net branch direction.

During the exchange, $L$ acts predominantly as donor and $S$ as receiver. Their volume changes need not have equal magnitudes. In the quasi-isobaric limit their first-order ratio follows the temperature relation derived in §6.1.2.

The heat-out exchanger removes heat from the gas:

${\dot{Q}}_o<0$

in the intended operating regime.

The ideal exchange tends toward small pressure differences along the active path and an approximately constant pressure over the phase. The finite real pressure differences required to drive the flow are determined by the hydraulic closure of §5.

The state of the other check valve and any secondary redistribution flow are determined by the instantaneous pressures; they are not prescribed by the phase definition.

6.4 Phase III — expansion

During expansion, the two cylinder volumes may increase simultaneously:

${\dot{V}}_S>0,{\dot{V}}_L>0$

over the principal part of the phase.

The pressure decreases from the higher exchange-pressure region toward the lower one. Both pistons may then contribute simultaneously to the work delivered by the gas.

As during compression, no zero-flow or closed-valve condition is imposed. Mass redistribution may continue and both heat exchangers remain thermally active. The complete balances of §6.1.3 therefore remain applicable.

Adiabatic expansion is the reversible reference limit, not a required operating condition of the real machine.

The end of the expansion phase is determined by the prescribed kinematic law independently of the check-valve events.

6.5 Phase IV — exchange through Hi: S → Hi → L

The dominant circulation is:

$S\to H_i\to L.$

The gas leaves the small-cylinder side, passes through the heat-in branch, and reaches the large-cylinder side. The passive check valve ${\mathrm{C}\mathrm{V}}_i$ may be located either before or after $H_i$; both arrangements impose the same net branch direction.

During the exchange, $S$ acts predominantly as donor and $L$ as receiver. Their required volume changes depend on the temperatures of the gas on the two sides according to the relations of §6.1.2.

The heat-in exchanger supplies heat to the gas:

${\dot{Q}}_i>0$

in the intended operating regime.

As in Phase II, the ideal exchange tends toward quasi-pressure-equalized and approximately isobaric operation, while the real mass flow requires finite hydraulic pressure differences.

After this phase, the prescribed kinematics return to the compression region and the four-phase sequence repeats. Thermodynamic closure nevertheless requires the complete state vector, and not only the piston geometry, to be periodic.

6.6 Motor operation

No second set of mass, energy, heat-transfer, or hydraulic equations is required for motor operation.

The physical branch directions remain:

$S\to H_i\to L,L\to H_o\to S,$

and the positions and orientations of the two passive check valves remain unchanged.

Motor operation is obtained by reversing the crank direction:

$\omega <0,$

and exchanging the external reservoirs connected to the two heat exchangers:

$T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}},T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}.$

The geometric cycle is therefore traversed in the opposite direction. Pressure histories, mass flow rates, check-valve events, and the periodic thermodynamic state must all be recalculated; the refrigeration valve chronology is not assumed simply to carry over.

In the intended refrigeration operation, the $L\to H_o\to S$ transfer occurs on the high-pressure side of the cycle, whereas the $S\to H_i\to L$ transfer occurs on the low-pressure side.

In the intended motor operation, reversal of the crank direction reverses these pressure roles: $L\to H_o\to S$ becomes the low-pressure exchange, whereas $S\to H_i\to L$ becomes the high-pressure exchange.

The physical thermal functions of the exchangers do not change: $H_i$ always transfers heat into the gas and $H_o$ always transfers heat out of the gas.

The heat-in exchanger absorbs heat from the hot reservoir:

$Q_i>0,$

the heat-out exchanger rejects heat to the cold reservoir:

$Q_o<0,$

and motor operation is obtained when:

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}>0.$

7. Transitions physiques des clapets

Pour un clapet orienté de l'amont $u$ vers l'aval $d$ :

$P_u-P_d\ge \Delta P_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}\Rightarrow \text{opening},$

$P_u-P_d\le \Delta P_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}\Rightarrow \text{closing},$

avec, en présence d'hystérésis :

$\Delta P_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}\le \Delta P_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}.$

Une ouverture ou une fermeture modifie la topologie hydraulique et donc les équations actives ; elle ne provoque aucun saut instantané de l'état thermodynamique. Pour chaque volume :

$m_j^{+}=m_j^{-},U_j^{+}=U_j^{-},V_j^{+}=V_j^{-}.$

Pour le gaz parfait :

$T_j^{+}=T_j^{-},P_j^{+}=P_j^{-}.$

Il n'y a donc pas d'égalisation instantanée des pressions à l'ouverture d'un clapet.

Les valeurs ${\Lambda }^{\ast }$ servent de cibles de conception cinématique ; les valeurs réellement observées lors des transitions sont ${\Lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\Lambda (t_{\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}})$.

Les deux clapets passifs ont une orientation fixe :

$H_o\to S,H_i\to L.$

Leurs conditions d’ouverture et de fermeture sont identiques dans les deux modes de fonctionnement. Seule l’historique des pressions change en raison de la cinématique inversée de la manivelle en fonctionnement moteur.

8. Travail, chaleur et performance

Le travail instantané du gaz sur les deux pistons est calculé pendant toutes les phases :

$\dot{W}=P_S^{\star }{\dot{V}}_S+P_L^{\star }{\dot{V}}_L.$

Le travail net du cycle est :

$W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\int }_0^{\tau }(P_S^{\star }{\dot{V}}_S+P_L^{\star }{\dot{V}}_L)dt.$

When the two cylinder pressures are comparable during a pressure-changing phase,

$\dot{W}\approx P({\dot{V}}_S+{\dot{V}}_L).$

If both cylinders contract during compression, or both expand during expansion, their work contributions therefore add instead of partly cancelling. This allows a larger fraction of the available swept volume to participate in compression and expansion for a comparable pressure history. It does not by itself prove a higher thermal efficiency, because the heat transfers and the resulting pressure history change at the same time.

Les chaleurs échangées sont :

$Q_i={\int }_0^{\tau }(UA{)}_i(T_{i,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_i)dt,$

$Q_o={\int }_0^{\tau }(UA{)}_o(T_{o,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_o)dt.$

En régime périodique :

$\Delta U_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}=0,$

et le premier principe donne :

$Q_i+Q_o=W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}.$

Le COP frigorifique est :

$CO{P}_c=\frac{Q_i}{-W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}.$

Le COP en pompe à chaleur est :

$CO{P}_h=\frac{-Q_o}{-W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}=CO{P}_c+1.$

Les signes $Q_i>0$, $Q_o<0$ et $W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}<0$ constituent des contrôles du régime frigorifique recherché.

Pour le cycle moteur :

$Q_i>0,Q_o<0,W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}>0.$

Le rendement thermique est :

${\eta }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}{Q_i}=1+\frac{Q_o}{Q_i}.$

La puissance thermodynamique moyenne du moteur est :

$\bar{\dot{W}}=\frac{W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}}{\tau }.$

La force thermodynamique exercée par le gaz sur une face de piston peut être écrite $F_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s}}=PS$. La force mécanique nette, les inerties et les frottements relèvent du dimensionnement mécanique ultérieur.

9. Charge de gaz et régime périodique

La quantité totale de gaz enfermée est un paramètre physique :

$M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=m_S+m_L+m_i+m_o=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

Elle peut être imposée directement ou définie expérimentalement par une pression et une température de charge. La configuration de référence choisie est celle de $t=0$, avec le grand cylindre au volume maximal. Si tous les volumes communiquent et sont en équilibre uniforme pendant le remplissage :

$M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{P_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}[V_S(0)+V_{L,max}+V_i+V_o]}{R{T}_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}}.$

$P_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}$ et $T_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}$ définissent la quantité de gaz chargée ; ils ne constituent pas une condition que le cycle périodique doit retrouver.

Le régime périodique établi est une solution du système telle que, entre deux passages successifs au volume maximal du grand cylindre avec la même direction cinématique :

$𝐗(t+\tau )=𝐗(t).$

La périodicité géométrique seule :

$V_k(t+\tau )=V_k(t),k\in \{S,L\}.$

ne suffit pas à garantir la périodicité thermodynamique.

L'état numérique utilisé pour lancer un calcul peut être approximatif ; il ne doit pas être confondu avec un paramètre physique de la machine. Le futur solveur pourra rechercher le point fixe périodique par cycles successifs, méthode de tir ou méthode de Newton.

10. Paramètres, données de conception et résultats

10.1 Données imposées

• mode de fonctionnement ;
• températures des réservoirs $T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$ et $T_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}$ ;
• vitesses angulaire signée de la manivelle $\omega$.
• fluide de travail et propriétés de référence $R$, $C_p$, $C_v$, $\gamma$ ;
• charge totale $M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}$, ou équivalent $(P_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}},T_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}})$ dans la configuration de remplissage définie au §9 ;
• cinématique $V_S(t)$, $V_L(t)$.

10.2 Paramètres de conception

• $V_{S,min}$, $V_{S,max}$, $V_{L,min}$, $V_{L,max}$ ;
• $V_i$, $V_o$ ;
• $(UA{)}_i$, $(UA{)}_o$ ;
• paramètres hydrauliques des échangeurs, conduites et clapets, représentés au premier niveau par $(C_{d}A{)}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ ;
• seuils $\Delta P_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}$, $\Delta P_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}$ ;
• cibles cinématiques ${\Lambda }_L^{\ast }$, ${\Lambda }_S^{\ast }$.

10.3 Variables et résultats calculés

• $m_j,U_j,T_j,P_j,j\in \{S,L,i,o\}$ ;
• débits massiques internes et externes ;
• ${\dot{Q}}_i$, ${\dot{Q}}_o$, $Q_i$, $Q_o$ ;
• $W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}$, $CO{P}_c$, $CO{P}_h$ ;
• extrema de pression, température et débit ;
• événements réels des clapets et ${\Lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}$ ;
• qualité d'isothermie ${\epsilon }_T$ ;
• critères de validité ${\epsilon }_P$, $Ma$, $Z$ et variation des propriétés.

11. Contrôles globaux de conservation

11.1 Conservation de la masse

Le solveur doit satisfaire :

$\frac{d{M}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}}{dt}=0.$

Un résidu numérique utile est :

${\epsilon }_M(t)=M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)-M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(0).$

11.2 Conservation globale de l'énergie

Quelle que soit la phase, les flux massiques et enthalpiques internes doivent s'annuler lorsque les bilans de tous les volumes sont additionnés. Le bilan global doit se réduire à :

$\frac{d{U}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}}{dt}={\dot{Q}}_i+{\dot{Q}}_o-P_S^{\star }{\dot{V}}_S-P_L^{\star }{\dot{V}}_L.$

Un résidu énergétique cumulatif peut être défini par :

${\epsilon }_E(t)=U_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)-U_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(0)-Q_i(0,t)-Q_o(0,t)+W(0,t).$

Sur un cycle périodique :

$Q_i+Q_o=W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}.$

Le solveur doit maintenir ${\epsilon }_M$ et ${\epsilon }_E$ proches de zéro à la précision numérique attendue.

---

Annexe A — Dérivations symboliques et contrôles validés

A.1 Équation de pression d'une paire fermée

Pour une paire cylindre + échangeur à pression quasi uniforme :

$U=\frac{P(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX})}{\gamma -1}.$

Le premier principe donne :

$\frac{dU}{dt}=\dot{Q}-P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}},$

avec :

$\dot{Q}=(UA{)}_{HX}(T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_{HX}).$

En dérivant $U$ :

$\frac{1}{\gamma -1}[(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX})\dot{P}+P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}]=\dot{Q}-P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}.$

D'où :

$\dot{P}=\frac{(\gamma -1)\dot{Q}-\gamma P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}}.$

Si $\dot{Q}=0$ :

$\frac{\dot{P}}{P}=-\gamma \frac{\dot{V}}{V},$

puis :

$P{V}^{\gamma }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

A.2 Débit interne de la paire

Pour l'échangeur seul, volume fixe :

$U_{HX}=\frac{P{V}_{HX}}{\gamma -1}.$

Donc :

$\frac{V_{HX}}{\gamma -1}\dot{P}=(UA{)}_{HX}(T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}-T_{HX})+{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}{C}_p{T}_{\mathrm{u}\mathrm{p}}.$

En utilisant $C_p=\gamma R/(\gamma -1)$ :

$V_{HX}\dot{P}+(\gamma -1)(UA{)}_{HX}(T_{HX}-T_{HX,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}})=\gamma R{T}_{\mathrm{u}\mathrm{p}}{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

On retrouve la définition du numérateur $N$ et la sélection de la température amont selon le signe du débit.

A.3 Évolution de la température de l'échangeur dans une paire

Pour un volume fixe :

$m_{HX}=\frac{P{V}_{HX}}{R{T}_{HX}}.$

En dérivant :

$\frac{{\dot{m}}_{HX}}{m_{HX}}=\frac{\dot{P}}{P}-\frac{{\dot{T}}_{HX}}{T_{HX}}.$

Avec ${\dot{m}}_{HX}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ :

${\dot{T}}_{HX}=\frac{T_{HX}}{P}\dot{P}-\frac{R{T}_{HX}^2}{P{V}_{HX}}{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

Cette relation découle uniquement de la conservation de masse et de l'équation d'état ; elle est valable pour les deux sens de débit.

A.4 Paire réceptrice ouverte

Pour une paire recevant ${\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ dans son cylindre :

$\frac{dU}{dt}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{C}_p{T}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+\dot{Q}-P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}.$

Avec $U=P(V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX})/(\gamma -1)$ :

$\dot{P}=\frac{\gamma R{T}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+(\gamma -1)\dot{Q}-\gamma P{\dot{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}+V_{HX}}.$

Le bilan de masse local :

${\dot{m}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},$

${\dot{m}}_{HX}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},$

redonne immédiatement :

${\dot{m}}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}}=-{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}},{\dot{m}}_{HX}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}.$

${\dot{m}}_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$

${\dot{m}}_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}={\dot{m}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$

A.5 Solution analytique du cylindre donneur adiabatique

Pour un cylindre adiabatique, bien mélangé, avec débit uniquement sortant :

$\frac{d(m{C}_{v}T)}{dt}=-P\dot{V}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_{p}T,$

et :

$\dot{m}=-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}.$

En développant :

$C_{v}m\dot{T}+C_{v}T\dot{m}=-P\dot{V}+C_{p}T\dot{m},$

soit :

$C_{v}m\dot{T}=-P\dot{V}+RT\dot{m}.$

Avec $P=mRT/V$ et $R/C_v=\gamma -1$ :

$\frac{dT}{T}=(\gamma -1)(\frac{dm}{m}-\frac{dV}{V}).$

Après intégration :

$\frac{T}{T_0}={\left[\frac{m}{m_0}\frac{V_0}{V}\right]}^{\gamma -1}.$

Puis, avec $PV=mRT$ :

$P=P_0{\left[\frac{m}{m_0}\frac{V_0}{V}\right]}^{\gamma }.$

et :

$\frac{T}{T_0}={\left(\frac{P}{P_0}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma }.$

Sous ces hypothèses, l'entropie spécifique du gaz restant est constante : $ds=0$. L'entropie totale du contenu du cylindre n'est pas constante puisque sa masse varie.

A.6 Échangeur actif : bilan développé

Bilan fondamental :

$\frac{d(m{C}_{v}T)}{dt}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{C}_p{T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}{C}_{p}T+\dot{Q}.$

En développant le membre de gauche et en utilisant :

$\dot{m}={\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}},$

on obtient :

$\dot{T}=\frac{{\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(C_p{T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-C_{v}T)-{\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}RT+\dot{Q}}{C_{v}m}.$

Contrôles limites :

• sans débit, l'équation redonne la relaxation thermique d'un volume fermé ;
• à débit stationnaire égal entrant/sortant, elle redonne $m{C}_v\dot{T}=\dot{m}{C}_p(T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-T)+\dot{Q}$ ;
• si $T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=T$ et ${\dot{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\dot{m}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$, la contribution nette du débit à $\dot{T}$ s'annule.

A.7 Global mass test

Using the signed link flows defined in §6:

${\dot{m}}_S=-{\dot{m}}_{Si}+{\dot{m}}_{oS},$

${\dot{m}}_L={\dot{m}}_{iL}-{\dot{m}}_{Lo},$

${\dot{m}}_i={\dot{m}}_{Si}-{\dot{m}}_{iL},$

${\dot{m}}_o={\dot{m}}_{Lo}-{\dot{m}}_{oS}.$

Summing the four equations cancels every internal mass flow exactly:

${\dot{M}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=0.$

This result is independent of the active phase, the flow directions on bidirectional links, and the positions of the two check valves.

A.8 Global energy test

Using the signed enthalpy fluxes defined in §6:

${\dot{U}}_S=-P_S{\dot{V}}_S-{\dot{H}}_{Si}+{\dot{H}}_{oS},$

${\dot{U}}_L=-P_L{\dot{V}}_L+{\dot{H}}_{iL}-{\dot{H}}_{Lo},$

${\dot{U}}_i={\dot{H}}_{Si}-{\dot{H}}_{iL}+{\dot{Q}}_i,$

${\dot{U}}_o={\dot{H}}_{Lo}-{\dot{H}}_{oS}+{\dot{Q}}_o.$

All internal enthalpy fluxes cancel exactly when the four balances are summed:

${\dot{U}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}={\dot{Q}}_i+{\dot{Q}}_o-P_S{\dot{V}}_S-P_L{\dot{V}}_L.$

Integrated over a periodic cycle:

$Q_i+Q_o=W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}.$

A.9 Continuité aux transitions

À l'instant d'un événement de clapet, aucune masse ni énergie finie ne peut être transférée en un temps nul. Les variables conservées et la géométrie sont donc continues :

$j\in \{S,L,i,o\}$

$m_j^{+}=m_j^{-},U_j^{+}=U_j^{-},V_j^{+}=V_j^{-}.$

Avec le gaz parfait :

$T_j=\frac{U_j}{m_j{C}_v},P_j=\frac{m_{j}R{T}_j}{V_j},$

ce qui implique :

$T_j^{+}=T_j^{-},P_j^{+}=P_j^{-}.$

L'événement ne crée qu'un changement de topologie hydraulique et de système d'équations actif.